RPS - Zmienne losowe o dyskretnych rozkładach - zadania
I. Rozkład dwumianowy i Poissona
Zad. 1.
Idziemy na przyjęcie na którym jest 500 osób. Jakie jest p-stwo, że dokładnie jedna osoba będzie miała tę samą datę urodzenia (tj. miesiąc/dzień) co my? Rozwiązać na dwa sposoby:
(a) z rozkładu dwumianowego,
(b) przybliżyć rozkładem Poissona.
Ćw. 4.2.
Zad. 2. Zapałki Banacha.
Palący matematyk nosi po jednym pudełku zapałek w lewej i prawej kieszeni spodni. Za każdym razem, kiedy chce zapalić, wyciąga pudełĸo z losowej kieszeni. Jakie jest p-stwo tego, że gdy wyciągnie w końcu puste pudełko, w drugim jest dokładnie k zapałek? Zakładamy, że zabawa zaczyna się z dwoma pudełkami po n zapałek każde.
Ćw. 4.1. + z.d. 4.1 (uwaga: rozkład ujemny dwumianowy a dokładniej rozkład Pascala).
Zad. 3.
Gramy serie gier z przeciwnikiem od ktorego jestesmy slabsi, tzn. nasze prawdopodobienstwo wygrania gry jest rowne p < 0.5. Mecz sklada sie z PARZYSTEJ liczby gier, wygrywamy jesli wygramy WIECEJ niz polowe gier. Mozemy wybrac liczbe gier w meczu: 2,4,6, itd, jaka liczbe powinnismy wybrac, a zmaksymalizowac p-stwo zwyciestwa?
Wskazówka: Łatwo uzasadnic, ze jak gramy baaardzo dużo gier to mamy p-stwo wygrania 0, tak samo jak gramy 0 gier. Więc optymalna liczba n gier będzie taka, że dla niej p-stwo bedzie >= od p-stwa dla n-2 gier i dla n+2 gier.
Z.d. 4.3.
Zad. 4. "Dwumianowe przerzedzanie" rozkładu Poissona.
Jaka jest wartość oczekiwana liczności potomstwa owada, w który składa n jaj zgodnie z rozkładem Poissona i z każdego z jaj niezależnie wykluwa się młode z p-stwem p? Jaka jest wartość oczekiwana liczności potomków całej populacji owadów, gdzie każdy owad składa jaja niezależnie od pozostałych z rozkładem Poissona?
Wskazówka: (do drugiej części) stabilność rozkładu Poissona (zad. 6).
Ćw. 5.1.
Zad. 5.
Sytuacja jak w poprzednim zadaniu. Pokazać, że zmienne losowe opisujące wyklute i niewyklute jaja są niezależne.
Ćw. 5.2.
Zad. 6. Stabilność rozkładu dwumianowego i Poissona.
Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym z tym samym p? Jaki rozkład ma suma dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie Poissona?
Ćw. 4.4 + 5 + z.d. 4.2.
Zad. 7. "Wygląd" rozkładu dwumianowego.
Rozważmy zmienną X o rozkładzie dwumianowym z parametrami n, p. Niech K będzie największą liczbą całkowitą <= (n+1)p. Pokazać, żeP(X=k) jest niemalejąca od 0 do K, oraz malejące dla k >= K.
Zad. 8. "Wygląd" rozkładu Poissona.
Rozważmy zmienną X o rozkładzie Poissona z parametrem lambda. Niech K będzie największą liczbą całkowitą <= lambda. Pokazać, że P(X=k) jest rosnąca od 0 do K a dalej malejąca.
Zad. 9. Zbieżność dwumianowego do Poissona.
Pokazać, że jeśli ustalimy np=lambda i będziemy jechać z n do nieskończoności (i z p do 0) to rozkład dwumianowy o parametrach n,p zbiega do rozkładu Poissona (zbiega tzn. zbiega punktowo, dla każdej wartości).
Ćw. 4.3 + 5.
Zad. 10.
Niech X, Y będą niezależne i mają rozkład Poissona. Pokazać, że rozkład X | X+Y=n jest dwumianowy.
Na przykład: jeśli w jeden owad składa jaja zgodnie z rozkładem Poiss(lambda1), a drugi, niezależnie z Poiss(lambda2) i wiemy, że w sumie złożone zostało n jaj, to p-stwo, że w pierwszy złożył k jaj jest takie samo jak p-stwo k sukcesów w rozkładzie dwumianowym z p-stwem sukcesu p=lambda1/(lambda1+lambda2).
Z.d. 5.1.
II. Rozkład geometryczny
Zad. 1. Własność braku pamięci.
Pokazać, że zmienna o rozkładzie geometrycznym nie ma "pamięci", tzn. dla dowolnych n>m>=0, zachodzi P(X = n| X > m) = P( X = n-m).
Uwaga: Tzn. jeśli czekamy na reszkę i wypadło m orłów, to pstwo, że wypadnie orzeł w n-tym rzucie jest takie samo jak w przypadku gdy całej przeszłości nie było. Powszechnie uważa się, że P(X=n| X>m) jest dużo większe niż P(X=n-m), orzeł niejako się "należy".
Ćw. 6.1.
Zad. 2. Jednoznaczność rozkładu z właśnością braku pamięci.
Każda zmienna przyjmująca wartości 1,2,... i nie mająca pamięci ma rozkład geometryczny. Więc jest to własność definiująca rozkład geometryczny.
Ćw. 6.2.
Zad. 3. Minimum nzal zmiennych o rozkładzie geometrycznym.
Pokazać, że jeśli X,Y nzal o rozkł. geometrycznym, to min(X,Y) ma też rozkład geometryczny.
Z.d. 6.1.
Zad. 4.
Rzucamy monetą do momentu kiedy wypadnie drugi orzeł. Pokazać, że przy założeniu, że ten drugi orzeł wypada w n-tym rzucie, p-stwo wypadnięcia pierwszego orła w i-tym rzucie jest takie samo dla każdego i.
Wskazówka: X, Y mają rozkład geometryczny z p=0.5. Interesuje nas P(X=i | X+Y=n).
Ćw. 6.3.
III. Teoria
Zad. 1.
Pokazać, że jeśli X i Y są niezależne i f,g: R->R, to f(X) i g(Y) są niezależne.
Z.d. 5.2.